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2007/05/24

【記憶に残る数学問題 1】 タバコを合計何回吸えるか?(解答編)

 前日の問題の解答である。まだ、問題を読んでいない場合は、先にこちらの問題から読んでいただきたい。

 さて解答だが、個人的には二つあると、私は思っている。私がこの問題を知ったときの正解は、後者の解答だと書かれていた。しかしながら、一般的な思考であれば、私は前者であっても正しい答えだと思っている。

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解答 1: (普通の人の解答)

  1. まず、一箱20本のタバコを全部吸う。(吸った回数:20回、吸殻20個)
  2. 吸殻20個のうち18個から6本のタバコを作って吸う。(吸った回数:26回、吸殻2+6個)
  3. 吸殻8個のうち6個から2本のタバコを作って吸う。(吸った回数:28回、吸殻2+2個)
  4. 吸殻4個のうち3個から1本のタバコを吸って吸う。(吸った回数:29回、吸殻1+1個)

 結果、

“タバコを29回吸うことができて、吸殻が2個残る”

という答えも、私は正解だと思っている。この考え方が一番自然だと思うからだ。

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解答 2: (ちょっと変わった人の解答)

“タバコを29回吸うことができて、吸殻が2個残る”

までは、解答 1 と同じだ。

 さらにその後に、誰か別な人から “吸殻を1個” 借りてくる。すると、吸殻は3個となり、1本タバコが作れる。これを吸うと、

“タバコを30回吸うことができる”

となる。

 そして、最後のタバコを吸うと、“吸殻が1個” できるので、これを借りた人に返せば、差し引きゼロとなる。

 というのが、私が読んだ正解だった。たしかに、うまい解決策だと感心させられたが、同時に何か、うまくごまかされたような気がしたのも事実だ。

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解答 3: (数学オタクによる解答)

 高校生時代の先輩に、この問題を出したことがあった。その先輩は、数学オタクだった。そして、その先輩が出した答えが、この画期的な解答だった。この問題が忘れられない問題となったのも、この解答を示されたためだ。

  1. 最初に20本
  2. 次は20本の1/3
  3. 三回目は20本の1/3の1/3
  4. ・・・

という形で無限にタバコを吸っていけば、一箱すべてのタバコを吸った回数を計算できると、その先輩は考えた。

 これは、初項が 20 で、等比が 1/3 の “等比級数” の無限和を計算することに等しい。初項 a、等比 r で -1< r <1 の場合、

Shiki00

が成り立つ。a=20、r=1/3 なので、これを代入すると、

Shiki01 Shiki02_1

となる。これを計算すると、

Shiki03

となり、なんと “解答 2” と同じ “30” となる。

 この一件で、数学の奥の深さを教えられたような気がした15の春だった。

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